Was ist schmidt sommerfeld?

Schmidt-Sommerfeld ist eine Erweiterung des Schmidt-Verfahrens (auch bekannt als Gram-Schmidt-Verfahren) zur Lösung von Eigenwertproblemen für lineare Operatoren, insbesondere in der Quantenmechanik. Es ist ein iteratives Verfahren, das darauf abzielt, eine orthonormale Basis aus Eigenvektoren eines Operators zu finden, ausgehend von einer anfänglichen, nicht unbedingt orthogonalen Menge von Vektoren.

Das Hauptziel des Schmidt-Sommerfeld-Verfahrens ist die Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren eines Operators, wenn eine analytische Lösung nicht möglich oder zu aufwendig ist. Es ist besonders nützlich in Fällen, in denen der Operator eine komplizierte Form hat oder in einem hochdimensionalen Raum operiert.

Im Wesentlichen besteht das Verfahren darin, sukzessive Näherungen für die Eigenvektoren zu konstruieren, indem man ausgehend von einem anfänglichen Vektor iterativ Korrekturen hinzufügt, die orthogonal zu den bereits gefundenen Eigenvektoren sind. Diese Korrekturen werden so gewählt, dass der resultierende Vektor eine bessere Annäherung an einen Eigenvektor des Operators darstellt.

Das Verfahren kann in folgenden Schritten zusammengefasst werden:

1. Initialisierung: Man beginnt mit einer Menge linear unabhängiger Vektoren, die als Ausgangspunkt für die Eigenvektoren dienen.

2. Iteration: Für jeden Vektor in der Menge führt man folgende Schritte aus:

   • Bestimmung des Residuums (des Fehlers) durch Anwendung des Operators auf den Vektor und Subtraktion des erwarteten Eigenwertes mal dem Vektor.
   • Orthogonalisierung des Residuums bezüglich der bereits gefundenen Eigenvektoren.
   • Hinzufügen des orthogonalisierten Residuums zum ursprünglichen Vektor, um eine verbesserte Näherung des Eigenvektors zu erhalten.
   • Normalisierung des neuen Vektors.

3. Konvergenz: Die Iteration wird fortgesetzt, bis die Änderungen an den Vektoren (und den entsprechenden Eigenwerten) unterhalb einer vorgegebenen Toleranz liegen, was auf Konvergenz hindeutet.

Der Schmidt-Sommerfeld-Algorithmus ist numerisch anspruchsvoll und erfordert sorgfältige Überlegungen bezüglich der Wahl der Anfangsvektoren, der Schrittweite und der Konvergenzkriterien. Die Effizienz und Genauigkeit des Verfahrens hängen stark von diesen Faktoren ab.

Anwendungen finden sich vor allem in der Quantenmechanik, beispielsweise bei der Berechnung von elektronischen Strukturen von Molekülen oder Festkörpern, sowie in anderen Bereichen der Physik und Chemie, in denen Eigenwertprobleme gelöst werden müssen.